Парадокс колеса – головная боль Галилея

Впервые о парадоксе колеса заговорили ещё до Аристотеля, однако он первый вплотную занялся его изучением. Затем над решением этой задачки бился Галилео Галилей. Суть парадокса состоит в следующем…

Имеем два колеса разного размера, расположенных одно в другом. Оба колеса синхронно катятся и проходят определённое расстояние. Вопрос заключается в следующем: пройдут ли оба колеса одинаковый путь?

Если вы внимательно посмотрите на гифку вверху, то заметите – оба колеса полностью совершают оборот по всей своей окружности, чтобы преодолеть одно и то же расстояние (см. на красную линию). А также очевидно, что одна окружность меньше другой. Это означает, что, либо колёса имеют одинаковую окружность (что в корне неверно), либо разные окружности «разворачиваются» на одинаковую длину (чего быть никак не может).

А если представить, что всё это правда? Тогда технически возможно, что колесо с окружностью в 2,54 сантиметра в состоянии пройти тот же путь за один оборот, что и колесо с окружностью, равной 1,6 километров.

Но такого просто не бывает. Длина окружности с меньшим радиусом не может быть равна длине окружности с большим радиусом. Так в чём же дело?

Давайте проследим маршрут, который проходит каждая точка окружности от начала красной линии до её конца. Перемещайте свой палец по линии, обозначающей радиус круга, одновременно следя за траекторией, которую проходит малая окружность от начала пути до конца.

Затем проследите траекторию, которую проходит большая окружность от начала пути до конца. Очевидно, что точка на большей окружности проходит бо́льшую траекторию, а, следовательно, больший путь, чтобы добраться до той же точки.

Иначе говоря, можно ехать в Москву из Нижнего Новгорода через Владимир, а можно через Архангельск или Астрахань. Расстояние от Нижнего до Москвы остаётся неизменным, но пути, которые придётся проделать по этим маршрутам, далеко не одинаковы.

В этом-то и заключается объяснение парадокса, над которым ломали голову самые выдающиеся умы человечества.