Алексей пошел в школу и параллельно начал увлекаться музыкой. Обучение прервалось из-за Великой Отечественной войны.
Тогда ему, чтобы помочь семье, пришлось начать работать на железнодорожной станции. С 1944 Алексей Экимян участвовал в восстановлении Харькова. Там он познакомился с фронтовиками, которые и посоветовали пойти работать в милицию.
Через два года Экимян вернулся в Ереван и начал милицейскую карьеру. Вскоре его отправили учиться в среднюю школу милиции во Владимире, после которой, в 1954 году, он прошел конкурс и поступил в Высшую школу МВД СССР в Москве.
Стремительно продвигаясь вверх по карьерной лестнице, Алексей Экимян продолжал заниматься музыкой. В 1963 году уже подполковник Экимян возглавил уголовный розыск Московской области.
Впервые о музыкальном таланте Экимяна широко заговорили в 1969 году когда он написал песню «Случайность» на стихи Евгения Долматовского.
Через год Алексей Экимян досрочно получил звание генерал-майор милиции. Тогда было принято шутить, что Алексей Эмикян днем ловит преступников, а по вечерам сочиняет музыку. 
В 1973 году по предложению композитора Арама Хачатуряна Алексей Экимян был принят в Союз композиторов СССР и в марте 1973 года провел первый большой творческий вечер в московском Доме кино.
За свою музыкальную карьеру Алексей Экимян написал около 100 песен, которые исполнили такие советские звезды как Людмила Зыкина, Иосиф Кобзон, Муслим Магомаев, Лев Лещенко, Анна Герман, Лусине Закарян, София Ротару, Нани Брегвадзе и другие.
Самыми известными песнями Экимяна были «Снегопад», «Не надо печалиться», «Я хочу, чтобы песни звучали», «Вот и встретились два одиночества». Сложная работа в милиции оставила свой тяжелый след на его здоровье.
Алексей Эмикян скончался 24 апреля 1982 года от болезни сердца, не дожив до 55 лет. Заслуженный милиционер и композитор похоронен в Ереване. Экимян был женат, имел двух сыновей.
